Linearity(선형성)을 가지기 위해서는 2가지의 조건이 필요합니다.
첫번째는 중첩의 원리(Superposition)
f(x1+x2) = f(x1)+f(x2)
두번째는 Homogeniety의 원리
f(ax) = af(x)
* a = 상수
이 두가지의 조건이 모두 충족한 것이 바로 선형성을 가진다고 말할 수 있다.
f(a1x1+a2x2) = a1f(x1)+a2f(x2)
이 조건을 생각하며 직선의 방정식 중 어떤 것이 선형성을 가지는 지 알아보자.
1) y = mx
2) y = mx + n
1) m(a1x1 + a2x2) = ma1x1 + ma2x2 = m(a1x1 + a2x2) = 선형성을 가진다
2) m(a1x1 + a2x2) + 2n = a1(mx1 + n) + a2(mx2 + n) = 선형성을 가지지 않는다
이것을 보면 직선의 방정식은 0을 지나는 직선의 방정식만 선형성을 가진다는 것을 알 수 있다.
더 나아가 3차원 공간의 평면의 방정식도 평면이 원점을 지나야 선형성을 가진다.
이제 백터에 대해 설명을 하겠다.
Vector 중 row vector = (a, b, c)라고 쓰지만 우리는 column vector를 쓸것이다.
column vector는 다음과 같다.
| a |
| b |
| c |
전치 행렬(Transpose)는 2X3의 행렬을 3X2의 행렬로 바꾸는 것이다.
이제 선형 결합(Linear Combination)을 알아보자.
선형 결합은 스칼라 값을 백터처럼 표현하면 행렬과 백터의 곱으로 표현할 수 있는 것이다.
백터의 뺄셈
v를 시작점으로 하는 화살표를 그립니다.
w를 시작점에서 시작하여 반대 방향으로 화살표를 그립니다.
결과 벡터 v−w는 v에서 w의 화살표를 역방향으로 이동한 지점에서 끝나는 화살표가 됩니다.
백터의 내적
선형 연립 방정식(Linear System of Equations)에 대해 알아보자
만약 2개의 직선의 방정식이 있다고 생각해보자. 이때, 각각의 x, y의 값을 구하기 위해 단순히 기하학적으로 구할 수 있지만
행렬처럼 표현해서 x, y 값을 구할 수 있다.
이렇게 선형 연립 방정식으로 row form(직선의 방정식, 평면의 방정식)의 문제를 풀면 2가지의 상황이 나오게 된다.
해가 없는 경우, 해가 무수히 많은 경우
해가 없는 경우는 두개의 직선, 평면이 평행한 경우 발생한다.
해가 무수히 많은 경우는 두개의 직선, 평면이 겹치는 경우 발생한다.
column form(벡터) 문제를 풀 때도 그런 경우가 존재하는데, 해가 없는 경우에는 우리가 가지고 있는 벡터로 정답 벡터를 만들지 못하는 경우 발생하고
이 경우에는 2개의 벡터가 서로 다른 위치에 존재하거나, 다른 차원에 존재하는 경우 발생한다.
해가 무수히 많은 경우에는 같은 차원에 존재하고, 두개의 벡터와 새로운 벡터가 모두 같은 점에서 시작하는 경우 발생한다.
이 경우에는 가우스 소거법으로 해결한다.